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\title{\heiti\zihao{2} 习题10.1}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}

\begin{document}
\maketitle
\section{指出下列各微分方程的阶数 :}
\subsection{$x\left(y^{\prime}\right)^{3}-2 y y^{\prime}+x=0$}
\textbf{解}\quad
$1$


\subsection{$x^{4} y^{(4)}-x y^{\prime}+y=0$}
\textbf{解}\quad
$4$


\subsection{$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+x^{4} y=0$}
\textbf{解}\quad
$3$


\subsection{$(3 x-2 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=0$}
\textbf{解}\quad
$1$

\section{在下列各题中,验证所给函数是微分方程的解:}
\subsection{$xy'+y=\cos x, y=\frac{\sin x}{x}$}
\textbf{解}\quad
是.带入即可.

\subsection{$xy'-y=xe^{x},y=x\left(\int_{1}^{x}t^{-1}e^{t}\mathrm{~d} t\right)$}
\textbf{解}\quad
是.带入即可.

\section{在下列各题中,确定函数表达式中满足所给的初始条件的常数\\$C_{1}, C_{2}$ :}
\subsection{$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$}
\textbf{解}\quad
$y^{\prime}=C_{2} \mathrm{e}^{x}+\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}=\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)+C_{2} x\right] \mathrm{e}^{x}$

由初始条件 $y(0)=\left(C_{1}+C_{2} \cdot 0\right) \mathrm{e}^{0}=0,$ 可得 $C_{1}=0 .$

又因为 $y^{\prime}(0)=\left.\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)+C_{2} x\right] \mathrm{e}^{x}\right|_{x=0}=C_{2} =1,$ 可得 $C_{2}=1$

所以函数满足所给初始条件的解为 $y= x \mathrm{e}^{x}$

\subsection{$y=C_{1} \cos \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$}
\textbf{解}\quad
$y=C_{1} \cos \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1 .$

$y^{\prime}=-C_{1} \sin \left(x-C_{2}\right)$
已知 $y(\pi)=C_{1} \cos \left(\pi-C_{2}\right)=0 \Rightarrow C_{1}=0$ 或者 $C_{2}=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} .$

又因为 $y^{\prime}(\pi)=-C_{1} \sin \left(\pi-C_{2}\right)=1$ 可知 $C_{1} \neq 0,$ 因此只能是 $C_{2}=k \pi+\frac{\pi}{2},$ 并且满足
$\sin \left[\pi-\left(k \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]=-\frac{1}{C_{1}},$ 即
$$
\sin \left[(1-k) \pi-\frac{\pi}{2}\right]=\sin \left(\frac{\pi}{2}-k \pi\right)=\frac{1}{C_{1}}, \quad(-1)^{k}=-\frac{1}{C_{1}}
$$

所以 $C_{1}=(-1)^{k+1},$ 即 $\left\{\begin{array}{l}C_{1}=(-1)^{k+1} \\ C_{2}=k \pi+\frac{\pi}{2}\end{array}, k \in \mathbb{Z} .\right.$

\section{求下列条件确定的微分方程(求一个即可) :}
\subsection{曲线族 $y=C x+x^{2}$ ( $C$ 为常数 $)$ 所满足的微分方程}
\textbf{解}\quad
$y^{\prime}=C+2x$,约掉$C$得$y^{\prime}-\frac{1}{x}y=x$

\subsection{曲线族 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} x \mathrm{e}^{x}\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 为常数) 所满足的微分方程}
\textbf{解}\quad
$y^{\prime}=C_{1}e^{x}+C_{2}(x+1)e^{x}$,$y^{\prime\prime}=C_{1}e^{x}+C_{2}(x+2)e^{x}$,$y''-2y'=-y$

\subsection{平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程}
\textbf{解}\quad
$2x+2yy'=0$,即$2+yy'=0$

\end{document}